Algebra, geometrie - jeden čert
nevybereš si!

RNDr.Hana Daňková

A víte, že je to opravdu jedno? (A k našemu dobru!)

Půjdeme na to pomalu.
matem_4 _1.gif (3114 bytes)

 



Toto je přímka a na ní bod 0
(nula)

Začneme u takové zvláštní žížaly. Je tak tenká, že skoro nemá žádnou tloušťku. Jen takovou, abychom ji tak tak viděli. Chudinka, může lézt jen dopředu a dozadu po jedné rovné čáře, které říkáme přímka. Nic jiného nezná, jen se plazit dopředu, dozadu a zase zpátky.

matem_4 _2.gif (838 bytes)

Ušla délku tří žížal a už je unavená. Však za chvíli popoleze ještě o délku čtyř žížal. Jak bude daleko? Podívejte se na obrázek.
matem_4_3.gif (779 bytes)
    Tři délky žížaly a čtyři délky žížaly
         je sedm délek žížaly      ...........         Toto je geometrie

     3 + 4 =7                ...........................       toto je algebra

Na velmi jednoduchém příkladu jsme si ukázali, že v obou případech jsme došli ke stejnému výsledku.
Délku žížaly můžeme nahradit jedním centimetrem, jedním krokem, nebo jedním kilometrem, zkrátka nějakou jednotkou. Výsledek bude stejný - sedm centimetrů
sedm  kroků,  sedm  kilometrů - v každém případě je to sedm jakýchsi jednotek!
Říkáme, že jsme příklad VYŘEŠILI "GRAFICKY" (za pomoci geometrie)
Ke stejnému výsledku jsme dospěli, když jsme "početně" vyřešili příklad 3+4= 7

3+4 je vždy 7, ať jsou to kroky, centimetry, nebo cokoliv jiného, ale pozor!
Už víme, že musíme sčítat stejné předměty.

Vraťme se k žížale.

Leze velmi pomalu. Nelíbí se nám to. Opustíme žížalu a podíváme se, jak vypadá přímka dál.

Budeme na ní zakreslovat kroky, půjdeme a půjdeme a půjdeme. Kam až? Můžeme říct, že do tramtárie! Kolik kroků urazíme a kdy dojdeme na konec?
Odpověď je - nikdy! Přímka nemá konec.
Matematikové, aby se dorozuměli, o čem je řeč, a nemuseli říkat to nepřesné slovo"tramtárie" tento neexistující "konec" jej označili znakem ležaté osmičky a říkají mu "nekonečno". Můžeme klidně říci, že konec je v nekonečnu, tak nějak vyjadřujeme záležitosti v běžném životě, ale přesně řečeno - není to z hlediska matematiky pěkná věta. Ale rozumíme jí.
Kdybychom počítali, a počítali od jedné pořád pryč, to bychom se napočítali, že? Jestliže to umíme a chce se nám, můžeme napočítat několik stovek, tisíc, milionů.... a dospěli bychom také k tomu, že se nedopočítáme, ani kdybychom počítali do konce svého života. Proto je užitečné vědět, že to číslo, ke kterému se nikdy nedopočítáme, se jmenuje nekonečno, a je to stejná ležatá osmička, jako ta nakreslená v geometrii ležatou osmičkou se šipkou, která naznačuje směr, že je tam někde nekonečně daleko...
Když označíme na této přímce počátek nulou, všem číslům na přímce ve směru, kterým šla žížala říkáme "Kladná čísla"

POZOR! Žížala jde dozadu!
Vidíme, že můžeme použít stejné "počty" .
Žížala urazila pozpátku pět, devět, jednáct délek. Jenže opačným směrem. Tento opačný směr označíme jako "záporný", délka žížaly je však stále stejná!!! DÉLKA VŠEHO JE VŽDY KLADNÉ ČÍSLO, pamatujte si. (Představte si, že byste měřili mínus 150 centimetrů !!!)
Ale tyto délky můžeme ukládat na obě části přímky. (Na dvě polopřímky)
Podívejme se na kroky. Abychom zdůraznili, že jdeme od nuly zpátky, opačným směrem, píšeme k číslům znaménko minus.

A tak chodila žížala sem, tam, v jednom směru, v opačném směru. Jeden směr je kladný, druhý záporný. Ale stále chudinka žížala má možnost chodit jen po té přímce. Budeme si představovat, že nesmí ani jen okem mrknout jinam.
Teď si prozradíme z matematiky takovou tajnost, kterou se nesmíte dozvědět na základní škole, tak pssst. Taková přímka, jejíž
každý bod je určen jen jediným údajem - číslem -
je jednorozměrným prostorem, (neboli dimenzí 1.) Zapamatujeme si to. Uvidíme, třeba nám to bude k něčemu dobré!

Žížala je pryč, zůstala nám přímka a na ní uložená čísla, od nuly až do nekonečna, od nuly až do mínus nekonečna. Nekonečno si můžeme jen představovat v tom směru, někde obrovsky daleko .....Čili geometricky jsme vyjádřili- zakreslili mnoho, mnoho - nekonečně mnoho čísel, jdoucích za sebou. matem_4_4.gif (1202 bytes)
Takto označené  přímce říkáme číselná osa.
Zatím na ní máme znázorněna jen čísla 1,2,3,4 ...-1,-2,-3, -4..a víme, že můžeme počítat hodně dlouho, napravo čísla kladná, nalevo čísla záporná,  a nikdy se nedopočítáme.
Číslům, která máme zakreslená, říkáme celá čísla (ta žížala byla celá, že?)
Ale prozradíme si, že mezi celými čísly jsou na číselné ose ještě jiná čísla, ale o těch až jindy.
1,2,3,4,5,6,7............11,12,..............50,51,52,....a víme, že se nikdy nedopočítáme.

Úkol k přemýšlení. Co kdyby jste šli po Zemi (zeměkouli) stejným směrem, šli a šli. Jak by vypadala číselná osa? Kam až byste došli?

Na závěr si řekněme větu o bodech a čísel, které jsme poznali:

Na číselné ose
                             Každému číslu odpovídá jeden bod přímky (číselné osy)
                             Každému bodu přímky (číselné osy) odpovídá jedno číslo

             Množina čísel                   Množina bodů 
             Jsme v algebře                 Jsme v geometrii
        matem_4_5.gif (1446 bytes)
Zapamatujte si - většinu matematických příkladů, se kterými se setkáte, si můžete nakreslit a bude to velmi užitečné pro pochopení.